Сорокова, Сороков. Математика по методу Монтессори: для дошкольников и школьников: Учебное пособие

2. Сложение

2.1. «Игра в змею» на сложение

  Материал

Поднос; кусок материи красного цвета; красная коробка с большим количеством стержней с цветными бусинами.

Черная коробка с белой крышкой, в которой находятся девять стержней с нанизанными на них черными и белыми бусинами в следующем порядке: стержень-1 — с 1 черной бусиной, стержень-2 — с 2 черными бусинами, стержень-3 — с 3 черными бусинами, стержень-4 — с 4 черными бусинами, стержень-5 — с 5 черными бусинами, стержень-6 — с 5 черными и 1 белой бусиной, стержень-7 — с 5 черными и 2 белыми бусинами, стержень-8 — с 5 черными и 3 белыми бусинами, стержень-9 — с 5 черными и 4 белыми бусинами. «Золотая» коробка с «золотыми» стержнями-десятками (около 20 стержней); «седлышко» для пересчитывания бусин; пустая коробка.

Прямая цель: в процессе игры ребенок заменяет стержни с цветными бусинами на «золотые» и черно-белые. При помощи конкретного материала из бусин он, по существу, учится складывать однозначные числа.

Косвенная цель: подготовка к запоминанию таблицы сложения.

  Презентация

1.

Поднос с материалом ставят на стол. Учитель говорит ребенку: «Я покажу тебе “игру в змею”». Он предлагает ребенку расстелить кусок материала (подстилку) на столе.

2.

Учитель показывает ребенку коробку с цветными бусинами. Он предлагает ребенку вынуть по одному стержню каждого цвета и положить на подстилку. Затем сверху в центре подстилки строится «башня» из цветных бусин. Коробку с оставшимися цветными бусинами закрывают и оставляют на подносе.

3.

Учитель выкладывает перед ребенком поочередно по одному черно-белому стержню от 1 до 9 в правильной последовательности. Ребенок считает бусины на каждом стержне. Учитель показывает, как построить из черно-белых стержней «башню» — точно такую же, как из цветных стержней. Ее располагают в левом верхнем углу подстилки.

4.

Учитель начинает выкладывать «змею» из цветных стержней, образующих «башню». Он выкладывает в линию две комбинации стержней так, чтобы каждая из них давала в сумме 10 (например, друг за другом выкладываются стержни-8, -2; -3, -7). Ребенок может продолжить построение «змеи» самостоятельно и разложить оставшиеся стержни в линию в произвольной последовательности. Когда «змея» готова, учитель берет из коробки с цветными бусинами еще один стержень-5 и кладет его в конце «змеи».

Примечание. Стержень-5 добавляется для того, чтобы получить в качестве суммы бусин всех цветных стержней пять полных десятков.

5.

Учитель ставит справа сверху над «змеей» пустую коробку для пересчитанных жемчужин и коробку с «золотыми» стержнями. Он говорит: «Мы превратим теперь эту “змею” из цветной в “золотую”. Для этого мы заменим цветные стержни “золотыми”». Учитель берет седлышко и отсчитывает от начала «змеи» 10 цветных бусин. Он кладет стержень-десяток над десятью отсчитанными цветными бусинами и убирает затем пересчитанные цветные бусины в пустую коробку. Ребенок повторяет действия учителя со следующей группой цветных бусин.

6.

Ребенок продолжает отсчитывать по 10 бусин и заменять их стержнем-десятком. Если получается остаток, т.е. комбинация стержней дает в сумме больше, чем 10, то «седлышко» оставляют в том месте, где находится десятая по счету бусина; над десятью отсчитанными бусинами снова кладут «золотой» стержень-десяток, а над остатком — стержень с черными и белыми бусинами. Этот черно-белый стержень содержит ровно столько бусин, сколько остаток. Затем стержни с цветными бусинами кладут в коробку для пересчитанных бусин. Дальнейший счет продолжается с начала стержня с черно-белыми бусинами. Если затем комбинации черно-белых и цветных бусин заменяются «золотым» стержнем (и, возможно, другим черно-белым стержнем), то пересчитанные цветные бусины снова кладут в предназначенную для них коробку, а черно-белые возвращают обратно в черно-белую башню.

Примечание. Черно-белые бусины применяют как напоминание об остатке.

7.

В конце работы ребенок получает 5 «золотых» стержней-десятков, лежащих друг за другом в виде «змеи».

 

Далее проводится так называемый первый контроль ошибок. «Золотые» стержни-десятки кладут справа вертикально рядом друг с другом так, чтобы между ними оставалось небольшое расстояние. Цветные стержни, которые были в коробке для пересчитанных бусин, раскладывают внизу слева вертикально рядом друг с другом, оставляя между ними расстояние, в правильной последовательности, начиная со стержня-9 и кончая стержнем-1. Учитель говорит: «Мы можем проверить, столько же бусин в нашей “золотой змее”, сколько было в цветной, или нет». Он составляет комбинации стержней «9+1», «8+2» и т. д. до «5+5» и кладет каждую комбинацию справа рядом с одним из «золотых» стержней-десятков.

Примечание. Ребенок видит, что цветных бусин ровно столько, сколько «золотых».

8.

Цветные бусины и «золотые» стержни-десятки убирают в те коробки, из которых они были взяты в начале работы. То же проделывают с черно-белыми стержнями.

Контроль ошибок

Первый контроль ошибок; учитель.

  Упражнения

1.

Ребенок раскладывает различные комбинации цветных стержней в виде «змеи» и работает по алгоритму, описанному выше. При этом он берет произвольные количества стержней любых цветов.

2.

Учитель показывает ребенку так называемый Второй контроль ошибок. «Золотые» стержни-десятки и, возможно, черно-белый стержень — остаток раскладывают вертикально рядом друг с другом справа сверху на подстилке. Цветные бусины, которые были пересчитаны и находятся в отдельной коробке, сортируют по цветам. Бусины одного цвета раскладывают друг под другом горизонтально; группы бусин разных цветов раскладывают рядом друг с другом. Сначала пересчитывают бусины одного цвета, лежащие слева. Получившееся количество бусин выкладывают при помощи «золотых» и цветных стержней; последние получают «разменом» «золотых» стержней-десятков (возможно, черно-белого стержня — остатка). Затем точно так же пересчитывают бусины других цветов. Если бусины сосчитаны правильно, то «золотых» стержней и, возможно, черно-белого стержня-остатка должно хватить для выполнения этой операции.

Примечание. Ребенок видит комбинации стержней и понимает, что, например, 4 раза по 9 равно 36, т. е. 4 стержня-9 содержат столько же бусин, сколько 3 «золотых» стержня и стержень-6.

Возраст: с 5 лет.

«Он (материал — Авт.) состоит из бусин, нанизанных на проволоку: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Эти бусины окрашены различно: нитка в десять бусин — оранжевая; в девять — бирюзовая; в восемь — фиолетовая; в семь — белая; в шесть — серая; в пять — голубая; в четыре — желтая; в три — красная; в две — зеленая. Затем имеются отдельные бусины для единиц... Бусины эти из блестящего стекла; жестяная проволока, на которой они нанизаны, скручена при основании и наверху в колечко; проволока твердая и прочная. Эти привлекательные предметы собраны по пяти экземпляров в каждой коробке, и это для того, чтобы каждый ребенок мог располагать пятью системами цепочек в своих численных комбинациях: предметы, будучи такими маленькими и удобными, дают возможность работать за столиками. Этот страшно простой материал, так легко приготавливаемый, имел необычайный успех у ребят пяти с половиной лет» [14, с. 5—6].

«Для этого упражнения применяется большое количество таких стерженьков. Число, которое представляет каждый стерженек, может быть установлено подсчетом надетых бусин. Однако со временем цвет помогает узнать количество, и считать бусины по одной больше не требуется, так как каждый стерженек позволяет с одного взгляда определить количество единиц на нем. Это большое количество маленьких стерженьков представляет не что иное, как неупорядоченную последовательность девяти цифр. ... Они (цветные стержни. — Авт.) уже разложены на столе или на полу, и чтобы при этом целое не занимало слишком много места, их упорядочивают в виде кривой, напоминающей змею» [5, с. 42—43].

«Упражнение со “змеей” направляет внимание на трудность счета более десяти. Эта трудность возникает постоянно и требует строго упорядоченного образа действия, в то время как спокойный и монотонный ряд десятков может быть оставлен без внимания. Таким образом выделяется механизм счета групп единиц в десятичной системе. При существующих методах суммирование групп единиц ведет к накоплению десятков. Это назойливое накопление... усложняет движение к успеху.

И фактически получается, что если учителя в существующих школах говорят: “Этот ребенок считает уже до пятидесяти”, то они ссылаются на груз десятков, которые препятствовали прогрессу. Ребенок, который умеет считать до пятидесяти, очевидно должен теперь отдохнуть от тягот.

Здесь, напротив, трудность счета остается одной и той же независимо от количества последовательно выполненных операций. Она состоит в том переходе через 10, который, как сказано, требует умственного усилия: проработка маленьких сумм и остатков, которые пополняют десяток, и остатка, который присчитывается к следующим группам. Отложенные и накопленные десятки представляют, наоборот, только мертвый груз, который бесполезно перегружает память» [5, с. 45—46].

2.2. Доска с полосами для сложения. Контрольные карты 1 и 2 на сложение

  Материал

Доска, разделенная на квадратные клетки (18 в ширину, 12 в высоту); сверху над первым рядом клеток числа 1—10 красного цвета, 11—18 — синего; красная вертикальная линия делит доску на 2 части. Она проходит справа от 10 и означает переход через десяток (см. рис. 3 в Приложении). Деревянная коробка с нумерованными полосами: 9 синих полос, которые можно расположить лестницей в соответствии с их длиной — от одного квадрата до 9 квадратов; числа красного цвета нанесены на полосах справа; 9 соответствующих красных полос с числами синего цвета; полосы разделены линиями на квадраты. Бланки с заданиями; карандаш; контрольная карта 1 и карта со всевозможными примерами на сложение однозначных чисел: от 1+1 до 9+9 (см. рис. 4 и 5 в Приложении); контрольная карта 2 учитывает коммутативный закон сложения, следовательно, на ней представлена только половина всех примеров на сложение однозначных чисел (см. рис. 6 в Приложении).

Прямая цель: систематическое решение примеров на сложение от 1+1 до 9+9.

Косвенная цель: подготовка к запоминанию таблицы сложения.

  Презентация

1.

Синие полосы кладут слева рядом с доской, упорядочив в виде лестницы, причем полоса-1 лежит снизу (аналог Красных штанг).

2.

Красные полосы точно так же располагают в виде лестницы справа от доски.

3.

Учитель предлагает ребенку прочитать числа, написанные сверху доски, затем дает ему первый бланк с примерами (рис. 28). Учитель читает первый пример и показывает, как его выполнить. Он берет синюю полосу-1, кладет ее на доску в верхний ряд слева, рядом с ней вплотную справа кладет красную полосу-1 и смотрит ответ — число, находящееся над правым концом красной полосы: 2. Он читает ответ и пишет его на бланке. Полосы возвращают обратно.

4.

Учитель может показать еще один-два примера, далее ребенок работает самостоятельно. В качестве проверки можно также продолжить счет от числа, написанного на синей полосе, по клеткам красной полосы.

5.

Если все примеры решены, учитель показывает, как пользоваться Контрольной картой 1 на сложение.

6.

Материал убирают, причем учитель показывает, как складывать полосы в коробку. Коробку ставят на бок, вниз кладут синюю полосу-9, рядом — красную полосу-1, сверху — синюю полосу-8 и красную полосу-2, и т. д.

Контроль ошибок

Контрольная карта 1 на сложение; учитель.

  Упражнения

1.

Повторение работы, показанной на презентации, с другими сериями примеров.

2.

В коробочке лежат маленькие листочки или карточки с примерами. Ребенок берет их по одному, записывает в тетради, выполняет и записывает ответ.

3.

«Сколькими способами я могу представить некоторое число в виде суммы двух чисел?» Решение каждый раз выкладывают на доске (см. рис. 5 с комбинациями в Приложении).

4.

Ребенок решает ряд примеров для знакомства с коммутативным законом сложения: 1+2, 2+1; 1+3; 3+1 и т. д. Нужно показать с помощью синих и красных полос, что, например, сумма длин полос-3 и -1 равна сумме длин полос-1 и -3. Примеры записаны на карточках так, чтобы ребенок мог сам заметить закономерность. После этого упражнения ребенка можно познакомить с Контрольной картой 2 на сложение.

Возраст: с 5—5,5 лет.

«Упражнение со “змеей” сосредотачивает внимание ребенка на трудности счета при переходе через десяток... Следующий материал позволяет специально исследовать эти переходы... При этом речь идет о доске, разделенной на 11 горизонтальных рядов по 18 квадратов. Между десятым и одиннадцатым квадратом проходит красная вертикальная разделительная линия... Целью этой доски является сделать наглядным переход через 10» [5, с. 45—47].

Рис. 28. Образцы бланков к материалу «Доска с полосами для сложения»

2.3. Рабочие карты 3,4,5 и 6 для упражнений на сложение

  Материал

Три квадратные карты, на которых имеются результаты всех возможных примеров на сложение однозначных чисел.

Карта 3. Разделена на квадратные клетки. Верхний горизонтальный ряд — синего цвета, в его клетках написаны числа от 0 до 9. Левый вертикальный ряд — красного цвета, в его клетках также написаны числа от 0 до 9. В остальных клетках находятся результаты сложения соответствующих чисел синего и красного рядов (рис. 29).

Карта 4 представляет собой половину карты 3, так как учитывает коммутативный закон сложения (рис. 30).

Карта 5 содержит только левый вертикальный ряд клеток с числами от 1 до 9 и два диагональных ряда клеток с результатами. Учитывает коммутативный закон сложения и тот факт, что

А=А+0=(А–1)+1=(А–2)+2=...=(А–[А–1])+(А–1)=0+А (рис. 31).

Карта 6 — тестовая карта. Выглядит так же, как и карта 3, но все остальные клетки, за исключением клеток синего горизонтального и красного вертикального рядов, — пустые (рис. 32).

Коробочка с маленькими полосками, на которых имеются примеры; маленькие квадратные таблички с числами-результатами в красной коробке.

Прямая цель: упражнения на сложение однозначных чисел. Запоминание таблицы сложения.

Косвенная цель: подготовка к сложению многозначных чисел «в столбик».

Примечание. Ребенок работает с картами главным образом самостоятельно. Учитель показывает ему только нахождение ответа с помощью каждой из карт 3—5 и принцип работы с картой 6.

  Упражнения

1.

Карта 3. Таблички с числами-результатами раскладывают на столе по порядку. Ребенок достает пример из коробочки, например, 5+3=. Учитель показывает дальнейшую работу. Указательным пальцем левой руки он находит в вертикальном красном ряду первое слагаемое 5; указательным пальцем правой руки — второе слагаемое 3 в горизонтальном синем ряду. Он ведет указательный палец левой руки направо, а указательный палец правой руки — вертикально вниз. В клетке, где они встречаются, находится результат: 8. Табличку с результатом кладут справа от примера. Можно также записать пример и ответ. Ответ проверяют с помощью Контрольной карты 1.

2.

Карта 4. Пример: 3+7=. Оба слагаемых находят в красном вертикальном ряду. От верхнего числа 3 проводят указательным пальцем правой руки по горизонтали до конца строки, т.е. до числа 6, и фиксируют его на этом месте. Теперь одновременно проводят указательным пальцем левой руки от нижнего слагаемого 7 по горизонтали и указательным пальцем правой руки вниз по вертикали до тех пор, пока пальцы не встретятся в клетке с результатом — числом 10. Результат выкладывают с помощью табличек или записывают. Правильность решения проверяют с помощью Контрольной карты 1 или 2.

3.

Карта 5. Пример: 6+2=. Оба слагаемых находят в красном вертикальном ряду. Указательный палец правой руки ставят на число 6, указательный палец левой руки — на число 2 и ведут оба пальца вправо до конца соответствующих горизонтальных рядов. Оба пальца оказываются на диагонали: правый — на клетке с числом 12, левый — на клетке с числом 4.

 

Теперь оба пальца ведут по направлению друг к другу вдоль диагонали «шажками»: один палец «прыгает» на следующую клетку — другой палец «прыгает» на следующую клетку, и т. д. Клетка, в которой пальцы встретились, даст искомый ответ: 8. Если пальцы находятся в соседних клетках, как в случае с примером 2+5=, результат читают в клетке, находящейся между двумя пальцами внизу: 7. Результат выкладывают с помощью табличек или записывают и проверяют с помощью контрольных карт 1 и 2. Рабочая карта 3 также может служить в качестве контрольной.

4.

Карта 6. Ребенок раскладывает по порядку таблички с результатами. Он берет пример, вычисляет результат в уме, ищет соответствующую табличку с результатом и кладет ее на подходящее поле карты 6. В конце результаты снова можно сравнить с Рабочей картой для сложения 3 или с Контрольной картой 1.

Примечание. Эта карта является тестовой и проверяет, запомнил ли ребенок наизусть таблицу сложения однозначных чисел.

Возраст: с 5,5—6 лет.

3. Вычитание

3.1. «Игра в змею» на вычитание («пожирающая змея»)

  Материал

Коробка зеленого цвета с цветными стержнями из бусин; черная коробка с белой крышкой, содержащая стержни с черно-белыми бусинами, и «золотая» коробка с «золотыми» стержнями-десятками (как в материале «Игра в змею» на сложение). В серой коробке — стержни с серыми бусинами (1—9) для представления отрицательных чисел. Маленькое «седлышко» для удобства счета бусин; коробочка для сосчитанных цветных стержней и коробочка для сосчитанных стержней с серыми бусинами. Подстилка зеленого цвета.

Прямая цель: в процессе игры ребенок заменяет цветные бусины на «золотые» и черно-белые. При помощи конкретного материала из бусин он учится, по существу, вычитать однозначные числа из чисел, меньших 20.

Косвенная цель: подготовка к запоминанию таблицы вычитания однозначных чисел из чисел, не превосходящих 20.

  Презентация

1.

На зеленой подстилке сверху слева ребенок выкладывает черно-белую «башню» вершиной вниз. Из зеленой коробки вынимают несколько цветных стержней и кладут их вертикально рядом друг с другом по порядку, начиная со стержней-9 и кончая стержнями-1, например, стержни-8, -7, -6, -3, -2. Учитель выбирает затем несколько серых стержней, например, стержень-5 и стержень-4.

Примечание. Цветные стержни играют роль слагаемых, дающих в сумме уменьшаемое, а серые — роль вычитаемых, поэтому сумма бусин на серых стержнях должна быть меньше суммы бусин на цветных стержнях.

2.

Учитель: «Мы построим “змею” из цветных и серых бусин». Он строит «змею», например, такую: белый стержень-7, розовый стержень-3, коричневый стержень-8, серый стержень-4, сиреневый стержень-6, серый стержень-5, зеленый стержень-2.

Примечание. Выкладывая «змею», серые стержни не нужно класть близко к началу, иначе в процессе вычислений возникнут отрицательные промежуточные результаты.

3.

Учитель: «Мы превратим “змею” в “золотую”, только теперь серые бусины “пожирают” цветные!» Учитель отсчитывает первые 10 бусин, заменяет их «золотым» стержнем-десятком и кладет сосчитанные стержни белый стержень-7 и розовый стержень-3 в предназначенную для них коробочку.

4.

Учитель считает бусины на коричневом стержне: их 8, а затем отдельно пересчитывает бусины на сером стержне: их 4. Он говорит: «Серые бусины “пожирают” 4 цветных». Он отсчитывает от правого конца коричневого стержня обратно 4 коричневых бусины, оставшиеся на этом стержне 4 коричневых бусины заменяет на 4 черных, кладет коричневый стержень в коробочку для сосчитанных цветных стержней, а серый стержень — в коробочку для сосчитанных серых стержней.

5.

Далее счет продолжают от начала черного стержня в прямом направлении. Учитель отсчитывает 4 черных бусины, затем 6 сиреневых, заменяет их «золотым» стержнем-десятком, сиреневый стержень-6 кладет в коробочку для сосчитанных цветных стержней, черный стержень-4 — в черно-белую «башню».

6.

Затем от правого конца «золотого» стержня обратно отсчитывают столько бусин, сколько содержит следующий серый стержень: 5, оставшиеся на нем 5 «золотых» бусин заменяют на черный стержень-5, «золотой» стержень возвращают в «золотую» коробку, а серый — в коробочку для сосчитанных серых стержней.

7.

В прямом направлении от начала черного стержня отсчитывают сначала 5 черных, затем 2 зеленых бусины, заменяют их черно-белым стержнем-7, черный стержень-5 возвращают в «башню», зеленый стержень-2 кладут в коробочку для сосчитанных цветных бусин. «Змея» готова.

8.

В заключение проводят контроль ошибок. Цветные стержни сортируют и кладут слева вертикально рядом друг с другом. Это наше уменьшаемое. «Золотые» и, возможно, черно-белые стержни кладут вертикально справа. Это наша разность. Серые стержни сортируют и кладут справа под «золотыми» и черно-белыми. Это наше вычитаемое.

Примечание. Если все правильно, то сумма разности и вычитаемого должна давать уменьшаемое.

 

Учитель: «Столько у нас было» (указывает на цветные бусины). «Столько мы убрали» (указывает на серые бусины). «Столько у нас осталось»(указывает на «золотые» и черно-белые бусины). «Если мы сделали все правильно, то цветных бусин будет столько же, сколько “золотых”, черно-белых и серых вместе взятых». Учитель сопоставляет цветные стержни «золотым», черно-белым и серым. «Золотой» стержень-десяток можно составить из коричневого стержня-8 и зеленого стержня-2, черно-белому стержню-7 сопоставить белый стержень-7, сиреневый стержень-6 разменять на голубой стержень-5 и красный стержень-1, сопоставить серому стержню-5 голубой стержень-5, серому стержню-4 — розовый стержень-3 и красный стержень-1. Материал убирают.

Контроль ошибок

Учитель; описанный контроль ошибок.