Сорокова, Сороков. Математика по методу Монтессори: для дошкольников и школьников: Учебное пособие

ВТОРАЯ ГРУППА
МАТЕМАТИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Введение в десятичную систему счисления, знакомство с четырьмя основными арифметическими действиями

1.Обзор второй группы математических материалов

Вторая группа предназначена для знакомства с многозначными числами и четырьмя основными арифметическими действиями с ними: сложением, вычитанием, умножением и делением.

Материалы этой группы дают ребенку возможность понять, какова структура многозначных чисел, что такое разряд числа и как происходит переход из одного разряда в другой в ходе арифметических действий.

Знаменитый «золотой материал» Монтессори из золотистых бусин позволяет не только увидеть, но и ощупать руками, ощутить форму и даже вес таких количеств, как несколько единиц, несколько десятков, сотен или тысяч бусин.

Весьма важным является тот факт, что разрядам десятичной системы с помощью «золотого материала» дана геометрическая интерпретация. Отдельные бусины-единицы напоминают точки плоскости, не имеющие измерений. Стержни с нанизанными на них десятью бусинами — десятки похожи на отрезки, имеющие только одно измерение — длину. Сотни представлены в виде квадратов из бусин, имеющих два измерения — длину и ширину. И, наконец, тысячи — в форме трехмерных кубов из бусин. Подобная геометрическая интерпретация позволяет не только привлечь сенсорную сферу ребенка при изучении математики и существенно облегчить оперирование с количествами, соответствующими многозначным числам, но и опосредованно знакомит ребенка с квадратом и кубом числа 10. В дальнейшем этот и некоторые другие

материалы помогут понять, почему вторую степень числа называют квадратом, а третью — кубом этого числа.

Подчеркнем, что при работе с «золотым материалом» еще не ставится задача обучения ребенка действиям с многозначными числами при письме по общепринятым правилам, поэтому в упражнениях с ним первоочередное значение имеет правильное выполнение хода действия, а не его результат. Результат, а также запись примеров (но еще НЕ выполнение действий при письме) становится важным при проведении так называемых Игр с марками. Переход к сложению и вычитанию в столбик осуществляется лишь по окончании работы с Малыми счетами, к умножению в столбик — после упражнений с Шахматной доской, а к делению «уголком» — посредством материала Большое деление.

Отметим также, что арифметические действия с «золотым материалом» не требуют обязательного умения прочесть многозначное число общепринятым образом, например: «Три тысячи пятьсот шестьдесят семь». На этой стадии работы вполне достаточно, что ребенок ясно понимает, из единиц каких разрядов состоит число, и правильно их называет, например, в нашем случае: «Три тысячи, пять сотен, шесть десятков, семь единиц». Правильные названия чисел особенно интенсивно учат при помощи материалов третьей группы.

При работе с материалами второй группы используются: «золотой материал» из бусин, Большой набор карт 1—9000, Большой набор карт 1—1000, три Малых набора карт 1—3000, Малый набор карт 1—9000, Игры с марками, Игра с точками, Текстовые задания, а также Малые, Большие и Лежащие счеты, Шахматная доска, материал для Большого деления. Прилагательные «большой» и «малый» в названиях наборов карт относятся не к их количеству, а к размерам изображенных на них чисел.

Материалы второй группы, предшествующие Малым счетам, предназначены для Монтессори-детского сада, остальные — для Монтессори-школы.

Введение количеств: единица, десяток, сотня, тысяча. Ребенок на конкретном материале, используя сенсорный опыт, знакомится с количествами, соответствующими разрядам десятичной системы счисления. Презентация проводится в форме классического трехступенчатого урока. Далее ребенку предлагается целый ряд упражнений и дидактических игр на закрепление новых понятий, во время которых ребенок снова и снова самостоятельно манипулирует этими количествами. Кроме того, он учится сравнивать количества и знакомится с понятиями «больше», «меньше», «столько же».

Введение чисел: 1, 10, 100, 1000. Ребенок знакомится с символами, соответствующими тем количествам, которые ему уже известны. На презентации учитель вводит, строго говоря, не названия чисел, а названия разрядов: «одна единица, один десяток, одна сотня, одна тысяча». Презентация проводится в форме трехступенчатого урока, затем следует упражнение, в ходе которого ребенок узнает иные круглые числа от 10 до 9000.

Если ребенок в ходе упражнения испытывает трудности, на первый раз можно ограничиться только десятками, а к сотням и тысячам обратиться позже. Это упражнение по форме также напоминает трехступенчатый урок, однако с гораздо большим количеством новых понятий. Их запоминание существенно облегчается тем, что все они строятся по одному и тому же принципу и звучат похожим

образом, кроме того, карты отличаются друг от друга размерами, а числи — цветом, что дает ребенку дополнительную информацию. Читателю рекомендуется внимательно ознакомиться с упражнением и тщательно его проработать.

Построение десятичной системы счисления. На одном коврике раскладывают «золотой материал», на другом — Большой набор карт 1—1000, затем сопоставляют количества и числа. Материал также наглядно демонстрирует, что каждый разряд содержит не более девяти единиц, а прибавление десятой единицы ведет к переходу в следующий разряд.

Построение многозначных чисел. При помощи «золотого материала» и карт из Большого набора 1—9000 ребенку показывают, как образуются многозначные числа. Учитель читает числа общепринятым способом, предлагая ребенку повторить их названия. Далее он выполняет многочисленные упражнения на построение многозначных чисел, постепенно приобретая уверенность. Он знакомится с еще одной функцией нуля в числе: нуль означает отсутствие единиц соответствующего разряда. Ребенок учится также сравнивать многозначные числа.

Арифметические действия с «золотым материалом»: сложение, вычитание, умножение, деление. Детям показывают арифметические действия с многозначными числами при помощи «золотого материала» и наборов карт. Они видят ход действий и активно участвуют в их выполнении. Знакомство с арифметическими действиями происходит в форме группового упражнения с двумя-четырьмя детьми.

Сначала показывают те примеры, в которых не происходит перехода в другой разряд, позже — примеры, в которых такие переходы необходимы. Презентация каждый раз происходит по одной и той же схеме: дети получают карты с числами, приносят соответствующие количества «золотого материала», под руководством учителя выполняют действия; учитель дает краткое пояснение и говорит название арифметического действия, дети вместе с ним приходят к результату, учитель «рассказывает историю» — напоминает ход действий, иллюстрируя свои слова при помощи карт с числами и раскладывая их в форме, принятой при записи примеров. Далее дети решают примеры, написанные на карточках. Для самоконтроля используются контрольные карточки.

Игры с марками дают ребенку возможность снова потренироваться в решении примеров на сложение, вычитание, умножение и деление многозначных чисел, но уже при помощи марок — маленьких табличек — заменителей количеств. Большое внимание здесь уделяется записи примеров и ответов. Примеры написаны на карточках, ответы к ним — на контрольных карточках.

Игра с точками. Это еще один шаг по пути от конкретного к абстрактному. Ребенок осуществляет сложение многозначных чисел, представленных графически с помощью точек.

Текстовые задачи. Ребенок читает задачу, составленную таким образом, чтобы она решалась в одно действие, и решает ее при помощи выбранного им материала: «золотого материала», Игр с марками или Игры с точками. В дальнейшем могут быть использованы и другие материалы. Эти задачи можно позже использовать в качестве теста на понимание условия задачи, на правильность выбора и выполнения арифметического действия, на умение самостоятельно записать решение в виде примера.

Малые счеты. Знакомство с Малыми счетами происходит, по существу, аналогично знакомству с материалом Игры с марками.

Во введении производится сопоставление бусин на Малых счетах с материалами, уже знакомыми ребенку, — с «золотым материалом» и марками, далее — замена разрядов с помощью Малых счетов, запись чисел на бланке и представление их на счетах.

Основная часть работы состоит в выполнении на счетах статического и динамического сложения и вычитания и записи соответствующих примеров в столбик в общепринятой форме. Сначала ребенок записывает только пример и ответ, вычисления же проводит не устно, а с помощью счетов. Заключительным этапом работы является переход к выполнению сложения и вычитания многозначных чисел общепринятым способом — «в столбик».

Большие счеты. Большие счеты похожи на Малые, однако вместо четырех имеют семь горизонтальных спиц и позволяют поэтому представить не только четырехзначные, но даже семизначные числа. На них можно проводить те же арифметические операции, что и на Малых счетах, однако особенно они удобны для умножения многозначных чисел на однозначные.

Большие счеты позволяют, вообще говоря, перейти к умножению в столбик многозначного числа на однозначное при письме (см. упражнения 2 и 4 к пункту Б). Применительно к умножению многозначных чисел на многозначные, т. е. в самом общем случае, этот переход осуществляется после работы с материалом Шахматная доска.

Операции умножения на Больших счетах предшествует вводная процедура, аналогичная той, которая проводилась с Малыми счетами. Основная часть презентации состоит в показе ребенку операции умножения на счетах. В нахождении сумм и разностей чисел ребенок уже упражнялся на Малых счетах, поэтому показывать их на Больших счетах на обязательно.

Лежащие счеты. При помощи Лежащих счетов многозначные числа умножают на многозначные. Спицы счет, в отличие от привычного горизонтального, имеют вертикальное расположение. Описание материала и способа работы с ним мы приводим в изложении самой Марии Монтессори.

Шахматная доска. Шахматная доска предназначена для умножения многозначных чисел на многозначные. Непосредственно после работы с ней осуществляется переход к умножению «в столбик» при письме, т. е. к абстракции. Умножению предшествует вводная часть, в ходе которой ребенок учится представлять многозначные числа на Шахматной доске. Основная часть работы состоит в выполнении статического и динамического умножения многозначного числа на однозначное, затем на круглое и на произвольное многозначное.

Большое деление. Материал предназначен для деления многозначных чисел на одно- и многозначные. После работы с ним осуществляется переход к делению при письме (так называемому «делению уголком»). Работа с этим материалом состоит из нескольких этапов. Во вводной части ребенок учится представлять многозначные числа при помощи бусин и баночек разных цветов. Основная часть работы состоит в последовательном выполнении следующих действий: статического и динамического деления на однозначный делитель, а затем деления на дву-, трех- и четырехзначный делитель.

2. Введение количеств: единица, десяток, сотня, тысяча. «Золотой материал»

  Материал

Для презентации: поднос, на котором слева направо лежат куб-тысяча, квадрат-сотня, стержень-десяток, бусина-единица. Для упражнений и арифметических действий: поднос с «банком» золотого материала, т. е. 45 единиц, 45 стержней-десятков, 45 квадратов-сотен и 11 кубов-тысяч.

Прямая цель: ребенок знакомится с количествами, представляющими разряды десятичной системы счисления. Он впервые обнаруживает, что единица каждого разряда состоит из 10 единиц предыдущего разряда.

Косвенная цель: подготовка к работе с многозначными числами.

  Презентация

Презентация проводится в форме трехступенчатого урока.

1.

Первая ступень. Учитель кладет перед ребенком бусину-единицу и спрашивает его, сколько здесь бусин. Ребенок отвечает: «Одна». Учитель: «Мы говорим также — одна единица». Ребенок ощупывает бусину-единицу.

2.

Учитель кладет перед ребенком стержень-десяток и предлагает ему сосчитать, сколько бусин-единиц на стержне. При счете бусину-единицу прикладывают последовательно к каждой бусине на стержне. Ребенок: «Десять». Учитель: «Десять единиц, или один десяток».

3.

Аналогично устанавливают, что десять десятков составляют одну сотню, а десять сотен — одну тысячу.

4.

Вторая ступень. Ребенку дают задания типа: «Дай мне, пожалуйста, одну единицу», «Покажи тысячу» и т.д. При этом ребенок ощупывает, взвешивает, перекладывает каждый из этих предметов.

5.

Третья ступень. Ребенка просят назвать указанные учителем количества.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

«Игра в банк». Учитель показывает ребенку банк и просит его принести из банка 2 (позже 5, 8 и т.д.) единицы. По выполнении задания бусины-единицы пересчитывают, располагая их точно друг под другом. Если бусин-единиц достаточно много, то такое их расположение напоминает стержень-десяток. Аналогичные задания — с десятками, сотнями и тысячами. При повторном пересчитывании десятки кладут рядом друг с другом так, чтобы постепенно возникал квадрат-сотня. Квадраты-сотни кладут друг на друга, чтобы получался куб-тысяча. Кубы-тысячи ставят друг на друга в виде башни.

Дальнейшие задания: принести по несколько единиц разных разрядов, например, 7 десятков и 2 единицы; 6 тысяч, 4 сотни и 8 десятков. При этом единицы разных разрядов кладут друг за другом слева направо в порядке записи числа.

2.

Один ребенок берет некоторое количество золотого материала и просит другого сосчитать, сколько у него единиц, десятков и т.д. При этом берут не более 9 единиц каждого разряда.

3.

Сравнение количеств. Понятия «больше», «меньше» и «столько же». Ребенку показывают, как определить, в каком из двух множеств, составленных из «золотого материала», больше бусин. Сначала оба множества составляют из предметов, соответствующих единицам одного и того же разряда, например, из бусин-единиц или из отрезков-десятков. Позже для этого используют предметы, представляющие единицы разных разрядов.

Возраст: с 4,5 лет.

«Опыт привел, кроме того, к заготовлению большого числа “десятков”; дети кончают тем, что выбирают из коробки все цепочки-десятки для их последовательного счета: 10, 20, 30, 40 и т. д. Поэтому мы имеем наравне с первоначальным материалом бусин, также и коробку десятков, т. е. наполненную цепочками в десять. При них находятся карточки, на которых написано 10, 20 и т. д. Дети соединяют два десятка или более сообразно с карточкой. Это начало для перехода к сложным десяткам: карточки с числом 100 и с числом 1000 дают возможность при наложении образовывать числа, как то: 1916. “Работа с бусинами” была установлена немедленно после опыта, как завоевание, созревшее при своем появлении» [14, с. 6].

3.Введение чисел: 1,10,100,1000

  Материал

Для презентации: 4 большие карты с числами: зеленое число 1, синее число 10, красное число 100, зеленое число 1000. Для упражнений: Большой набор карт от 1 до 9000: 9 больших карт с зелеными числами 1—9; 9 больших карт с синими числами 10—90; 9 больших карт с красными числами 100—900; 9 больших карт с зелеными числами 1000—9000.

Прямая цель: знакомство с числами 1, 10, 100, 1000 и с ролью нуля в числе.

Косвенная цель: подготовка к построению многозначных чисел.

  Презентация

Проводится в форме трехступенчатого урока.

1.

Первая ступень. Учитель дает ребенку карту с числом 1 и спрашивает его, какое это число. После ответа ребенка он констатирует: «Один или одна единица». Затем он дает ребенку карту с числом 10 и спрашивает, какое это число. Ребенок: «Десять». Учитель: «Десять или один десяток». Учитель также обращает внимание ребенка на количество нулей в числе 10.

Примечание. Числа 1 и 10 знакомы ребенку по работе с математическими материалами первой группы.

2.

Учитель дает ребенку карту 100 и просит сказать, сколько нулей в этом числе. Ребенок: «Два». Учитель: «Это одна сотня».

3.

Аналогично вводится понятие «тысяча».

4.

Вторая ступень. Ребенку дают задания типа: «Дай мне одну сотню», «Покажи мне один десяток» и т.д.

5.

Третья ступень. Ребенка просят назвать указанные числа.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

Раскладка большого набора карт 1—9000. Работа происходит на коврике. Упражнение проводится в форме трехступенчатого урока.

1.

Первая ступень. Учитель берет карты 1—9 и начинает раскладывать их одну под другой сверху вниз. При этом он называет числа: «Одна единица, две единицы, три единицы», а затем предлагает ребенку продолжить работу. Потом ребенок сам раскладывает карты и называет числа. Далее слева от карт 1—9 раскладывают карты 10—90 так, чтобы число 10 находилось рядом с числом 1, число 20 — рядом с числом 2 и т.д.

При этом говорят: «Один десяток, два десятка...». Аналогично поступают с картами 100—900 и 1000—9000 (рис. 4).

2.

Вторая ступень. Карты с числами одного разряда перемешивают и кладут их снова одну под другой в ту же вертикальную колонку. При этом порядок карт в колонке меняется. Начинают с карт 10—90. Учитель просит ребенка показать названные им единицы одного и того же разряда. Аналогично поступают с разрядами сотен и тысяч. Ребенка просят также показать числа разных разрядов, например 20, 400, 7000 и т.д.

3.

Третья ступень. Учитель просит ребенка назвать указанные им числа. Карты убирают так, чтобы они хранились в правильном порядке.

Примечание. Если ребенок испытывает затруднения, в первое время можно ограничиться разрядами десятков и единиц. Позже можно ввести единицы других разрядов.

Возраст: с 4,5 лет.

Рис. 4. Раскладка большого набора карт 1—9000

«К материалу из бусин относятся также карты с числами: они состоят из ряда карточек, размеры которых пропорциональны соответствующему значению разряда, причем числа каждого разряда имеют другой цвет. Карточки для девяти единиц одинаковы между собой....

Карточки для девяти десятков являются, напротив, вдвое шире, так как на них должно остаться место еще и для нуля. Карточки-сотни втрое шире карточек для единиц, чтобы хватило места для двух нулей. Наконец, тысяча вчетверо шире единиц, так как она имеет три нуля» [5, с. 33].

4.Построение десятичной системы счисления, «золотой материал»

  Материал

Поднос с 9 отдельными «золотыми» бусинами-единицами, 9 стержнями-десятками, 9 квадратами-сотнями, 1 кубом-тысячей, Большой набор карт 1—1000. Поднос с чашечкой для бусин-единиц.

Прямая цель: знакомство со строением десятичной системы счисления; с тем, что каждый разряд содержит не более 9 единиц. Сопоставление количеств и соответствующих им чисел.

Косвенная цель: подготовка к построению многозначных чисел.

  Презентация

Состоит из 3-х частей.

Часть 1. Раскладка бусин.

1.

На коврик ставят поднос с золотым материалом таким образом, что куб-тысяча оказывается слева, а бусины-единицы — справа. Учитель показывает ребенку, как раскладывают единицы: одну под другой на расстоянии, примерно равном длине стержня-десятка. При этом он говорит: «Одна единица, две единицы, ...», и предлагает ребенку продолжить самому. Ребенок строит вертикальный ряд из 9 бусин-единиц (рис. 5).

2.

Слева от единиц раскладывают один под другим стержни-десятки и считают вслух: «Один десяток, два десятка, три десятка, ...». Левее раскладывают 9 квадратов-сотен и куб-тысячу.

  Упражнения

Учитель просит ребенка дать ему, например, 3 единицы. По выполнении задания единицы еще раз пересчитывают и возвращают на место. То же амое проделывают с десятками, сотнями, тысячей.

Рис. 5. Построение десятичной системы: раскладка бусин

Один раз ребенка просят дать 9 единиц и обращают его внимание на то, что ряд пуст. То же самое — с десятками и сотнями. Далее ребенка просят дать по несколько единиц разных разрядов, например, 5 десятков и 7 единиц; 3 сотни, 1 десяток и 8 единиц.

Примечание. Достаточно разложить количества, соответствующие числам одного класса, как это описано выше. При этом ясно видно, что каждый разряд содержит не более 9 единиц. Можно, однако, применить также 9 кубов-тысяч и Большой набор карт 1—9000.

Часть 2. Раскладка Большого набора карт 1—1000. Ребенок самостоятельно раскладывает карты тем же образом, как и в случае с Большим набором карт 1—9000.

Примечание. Эта часть презентации является повторением, поэтому ее можно проводить одновременно с третьей частью презентации.

Часть 3. Связь между количествами и числами.

1.

На одном коврике разложен золотой материал (см. часть 1), а на другом — большой набор карт 1—1000 (см. часть 2). Учитель кладет на поднос ребенка карту и просит его принести столько бусин, сколько «говорит» число на карте. По выполнении задания бусины пересчитывают.

2.

Ребенку поочередно предлагают карты с числами разных разрядов. Далее можно дать сразу несколько карт с числами разных разрядов, например, по одному числу каждого разряда.

3.

Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

Ребенку дают некоторое количество золотого материала и просят принести соответствующие карты. По выполнении задания бусины пересчитывают и сопоставляют с числами на картах.

2.

Предыдущее упражнение может выполнять также группа из 2—3 детей. Один из детей играет роль учителя.

Возраст: около 5 лет.

«Бусины десятичной системы и карточки подходят для построения простых комбинаций, которые предоставляют возможность для многообразных упражнений и связанного с ними длительного изучения. Это объясняет, как десятичная система — если интерес к ней однажды пробудился — в этой форме становится источником активности.

Одно из самых простых упражнений состоит в сопоставлении отдельных подвижных картин. При этом количества одинаковых разрядов и соответствующие карточки соотносятся» [5, с. 33].

5. Построение многозначных чисел

  Материал

Большой набор карт 1—9000. Поднос с «золотым материалом»: 9 бусин-единиц, 9 стержней-десятков, 9 квадратов-сотен, 9 кубов-тысяч.

Прямая цель: ребенок знакомится с многозначными числами и их структурой.

Косвенная цель: подготовка к арифметическим действиям с многозначными числами.

  Презентация

1.

На одном коврике раскладывают «золотой материал» так, как при построении десятичной системы. На другом коврике раскладывают большой набор карт 1—9000.

2.

Учитель дает ребенку 4 карты — по одной карте с числами разных разрядов, например 2000, 300, 50, 7, и просит принести бусины. По выполнении задания бусины пересчитывают, соответствующие карты кладут под ними. Ребенок называет число на каждой карте.

3.

Учитель кладет карты друг на друга так, чтобы их правые края совпадали. При этом нули оказываются закрытыми. Учитель показывает цифры одну за другой и читает число: «Две тысячи триста пятьдесят семь». При этом можно отогнуть карты и показать ребенку, что нули не исчезли, а просто закрыты.

Примечание. Здесь даются правильные названия чисел, однако не ожидается, что ребенок их сразу запомнит. Для последовательного счета до 1000 и запоминания названий многозначных чисел предназначена третья группа математических материалов. Как уже говорилось, работать с материалами третьей группы можно параллельно второй группе. То же делают с другими числами. Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

Повторение презентации, однако роль учителя играет один из детей.

2.

Один ребенок строит многозначное число, другой читает его. «Золотой материал» не используется.

3.

Провести упражнение 1 в виде игры на расстоянии. Для этого расположить оба коврика на некотором расстоянии друг от друга. Можно также не раскладывать «золотой материал», а воспользоваться банком.

4.

Построить многозначные числа с нулем в каком-либо разряде и обсудить его функцию.

5.

Читать цены в магазинах, даты в календаре, номера домов.

6.

Ребенку показывают, как сравнивать многозначные числа. Вводят понятия «больше», «меньше», «равно».

Возраст: около 5 лет.

«... Как отметить цифру, чтобы указать, какое она должна занимать место по отношению к другим цифрам, а этим определить ее значение? Не всегда же существуют вертикальные линии, отличающие относительное значение места (Первоначально функция нуля как представителя отсутствующих единиц какого-либо разряда обсуждалась при работе с Малыми счетами. — Авт.); тогда ставят такое же количество нулей направо от цифры. Нуль, что уже известно по “Дому ребенка”, не имеет никакой ценности и не может ничего прибавить к цифре, которая за ним следует. Но он служит для того, чтобы занять место и подчеркнуть значение цифры, находящейся от него налево. Но нуль придает значение 1 и делает из него 10; нуль в 10 указывает только, что это не единицы, но стоит на месте, отведенном десяткам, и выражает один десяток, а никак не единицу. Если же за десятью будет следовать, например, 4 единицы, значит, на месте единицы будет стоять 4, и 1 на месте десятков» [14, с. 11].

«Второе упражнение состоит в построении больших чисел. С этой целью предложено представить материал в такой форме, которая отражает идею десятичной системы, а не ассоциацию чисел с соответствующими предметами...

Здесь речь не идет о том, чтобы “считать” посредством какой-либо системы; скорее должно быть показано, что в каждом разряде имеется только девять единиц....

Исходя из этого разделения чисел и предметов может быть сделан следующий шаг: сопоставление их обоих; причем показывают, что какое-либо число (в нашем случае от 1 до 9999) может быть составлено из ограниченного количества предметов...» [5, с. 34].

6.Арифметические действия с «золотым материалом»

6.1. Сложение

6.1.1. Сложение статическое (без замены разрядов)

Примечание. При знакомстве ребенка с четырьмя основными арифметическими действиями сначала выбирают такие примеры, в которых не происходит перехода в другой разряд. В этом случае арифметическое действие называют статическим, в противном случае — динамическим.

  Материал

Банк «золотого материала» (в качестве материала-заменителя можно использовать деревянные кубы и квадраты); Большой набор карт 1—9000; 3 Малых набора карт 1—3000; 3 подноса с чашечкой на каждом, 1 большой поднос с чашечкой.

Прямая цель: ознакомление на конкретном материале с процессом сложения без замены разрядов; с тем, что несколько множеств с меньшим количеством элементов образуют одно множество с большим количеством элементов.

Косвенная цель: подготовка к динамическому сложению и сложению при письме.

  Презентация

1.

Презентация проводится с двумя или тремя детьми. Дети получают по Малому набору карт 1—3000 и раскладывают их на ковре. Учитель раскладывает Большой набор карт 1—9000. Каждый из детей получает также поднос.

2.

Учитель составляет и дает каждому ребенку многозначное число из их наборов карт, например, 2323, 1132 и 1211, и кладет на детские подносы. Дети идут со своими подносами и числами к банку и берут соответствующие множества бусин.

3.

По выполнении задания учитель спрашивает каждого ребенка еще раз, сколько он принес бусин, берет каждое множество, считает вслух и кладет его на ковер, упорядочивая по разрядам. Маленькие числовые карты кладут на ковер рядом с множествами друг под другом. Все множества объединяют, сложив их на большой поднос. Учитель говорит: «Это действие называется сложением». Множества упорядочивают по разрядам.

4.

Учитель просит сосчитать, сколько бусин лежит на большом подносе. Счет начинают с единиц. Каждый ребенок считает единицы одного разряда, приносит соответствующее число из Большого набора карт и кладет под нужным множеством.

6.

Когда единицы всех разрядов сосчитаны и карты с числами лежат под ними, эти карты сдвигают вместе и читают результат. Число-результат из Большого набора карт кладут под тремя числами из Малых наборов карт. Учитель еще раз повторяет: «Ты принес мне 2323, ты принес мне 1132, ты принес мне 1211 бусин. Мы сложили их и получили 4666 бусин. Это действие называется сложением». Материал убирают.

Контроль ошибок

Повторное пересчитывание бусин; контроль осуществляется также учителем.

  Упражнения

1.Многократное повторение презентации с другими числами.

2.Повторение действий, показанных на презентации с «забавными числами», например, 1111, 2222, 3333 и т. д.

Возраст: около 5 лет.

6.1.2. Замена разрядов

  Материал

Для презентации 1: большое количество бусин-единиц в чашечке, банк со стержнями-десятками. Для презентации 2: большое количество стержней-десятков, банк с квадратами-сотнями. Для презентации 3: большое количество квадратов-сотен, банк с кубами-тысячами. Для упражнений: большое количество бусин-единиц, стержней-десятков, квадратов-сотен. Банк с «золотым материалом», поднос.

Прямая цель: обучение замене 10 единиц какого-либо разряда одной единицей последующего, более высокого разряда, и наоборот, размену 1 единицы некоторого разряда на 10 единиц предыдущего, более низкого разряда.

Косвенная цель: подготовка к динамическому сложению, вычитанию, умножению и делению.

  Презентация 1

1.

Учитель ставит перед ребенком чашечку с большим количеством бусин-единиц и говорит: «Здесь много единиц. Давай сосчитаем, сколько их!» Он берет единицы из чашечки, выкладывает их одну под другой так, что постепенно они начинают напоминать стержень-десяток. Ребенок вслух считает. После десятой единицы учитель говорит: «Стоп! У нас есть десять единиц, или один десяток». Ребенок идет к банку и меняет 10 единиц на один десяток.

2.

Далее ребенок сам берет бусины-единицы, отсчитывает по 10 штук и меняет их на 1 стержень-десяток. Процесс заканчивается, когда остается менее 10 единиц. По окончании работы десятки можно пересчитать.

3.

Материал убирают.

Презентации 2 и 3 проводятся аналогично.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

У ребенка имеется некоторое количество бусин-единиц, стержней-десятков, квадратов-сотен. Сначала он считает единицы и меняет каждые 10 единиц на 1 десяток. Таким же образом он производит замену десятков и сотен, если это требуется. Процесс заканчивается, когда у ребенка остается не более 9 единиц каждого разряда.

2.

Упражнение, обратное презентации 1. Ребенок разменивает стержень-десяток на 10 бусин-единиц. Аналогичные упражнения проводят с квадратом-сотней и кубом-тысячей.

3.

Убедиться при помощи разменов, что квадрат-сотня действительно состоит из 100 единиц.

4.

Обратная задача: взять 100 единиц и при помощи замен перейти к квадрату-сотне.

Возраст: около 5 лет.

6.1.3. Сложение динамическое (с заменой разрядов)

  Материал

Тот же, что и для статического сложения.

Прямая цель: ребенок знакомится с процессом сложения с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к сложению при письме, а также к умножению.

  Презентация

1.

На ковриках раскладывают наборы карт. Дети сами выбирают числа из своих Малых наборов карт, например, 2641, 1578 и 3256. Дети идут к банку и приносят соответствующие множества. Бусины еще раз пересчитывают, затем их складывают вместе и упорядочивают по разрядам.

2.

Бусины пересчитывают, при этом снова начинают с единиц. Если в каком-либо разряде больше 10 единиц, то каждые 10 единиц этого разряда нужно заменить 1 единицей следующего разряда, а замененные единицы вернуть

 

в банк. Как только у ребенка остается не более 9 единиц данного разряда, он приносит соответствующее число из большого набора карт.

3.

Далее продолжают, как при статическом сложении.

4.

Материал убирают.

Контроль ошибок

Повторное пересчитывание бусин; осуществляется также учителем.

Примечание. На данной стадии работы самое важное не правильность результата, а понимание самого процесса сложения.

  Упражнения

1.

Многократное повторение работы, показанной на презентации. Дети работают самостоятельно.

2.

Примеры с числами, содержащими нуль в одном или нескольких разрядах.

3.

При подсчете результата начать не с единиц, а с любого другого разряда. Понять, почему при сложении чисел принято начинать с единиц.

Возраст: около 5 лет.

6.2. Вычитание

6.2.1. Вычитание статическое (без замены разрядов)

  Материал

Банк «золотого материала»; Большой набор карт 1—9000 (для уменьшаемого); Малый набор карт 1—9000 (для разности); Малый набор карт 1—3000 (для вычитаемого); поднос с чашечкой; большой поднос с чашечкой.

Прямая цель: знакомство с процессом вычитания без замены разрядов; с функцией вычитания как «отнятия», уменьшения числа элементов данного множества.

Косвенная цель: подготовка к динамическому вычитанию и вычитанию при письме.

  Презентация

1.

На ковриках раскладывают все три набора карт. Учитель выбирает карты из Большого набора и строит некоторое большое число, например, 9878. Ребенок приносит из банка соответствующее множество бусин.

2.

Учитель вместе с ребенком пересчитывают элементы принесенного множества и раскладывают его на ковре. Теперь учитель дает ребенку подходящее число из Малого набора карт 1 — 3000, например, 3346.

Примечание. Вычитаемое выбирают так, чтобы число единиц каждого разряда не превышало числа единиц соответствующего разряда уменьшаемого.

3.

Учитель говорит: «У меня много бусин. Ты можешь забрать у меня столько бусин, сколько подсказывает тебе твое число. Сколько тебе нужно единиц?» Ребенок: «Шесть». Учитель отдает ему их. Аналогично поступают с десятками, сотнями и тысячами.

4.

Учитель: «У меня было много бусин. Ты забрал некоторое количество, теперь у меня осталось меньше бусин. Давай посчитаем, сколько!» Оставшиеся бусины пересчитывают и результат выражают с помощью Малого набора карт 1—9000.

5.

Учитель: «Сначала у меня было 9878 бусин, затем ты забрал 3346, и теперь у меня осталось 6532 бусины! Это действие называется вычитание». При этом он кладет числа друг под другом в порядке: уменьшаемое, вычитаемое, разность.

6.

Материал убирают.

Контроль ошибок

При повторном пересчитывании; контроль осуществляется также учителем.

  Упражнения

Многократное повторение действий, показанных на презентации, с другими числами.

6.2.2. Вычитание динамическое (с заменой разрядов)

  Материал

Банк с «золотым материалом»; Большой набор карт 1—9000; 3 Малых набора карт 1—3000; Малый набор карт 1—9000; 3 подноса с чашечками; большой поднос с чашечкой.

Прямая цель: знакомство с процессом вычитания с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к вычитанию при письме.

  Презентация

1.

Начало презентации такое же, как и при статическом вычитании. Каждый ребенок выбирает некоторое число из своего Малого набора карт 1—3000. Учитель выбирает число 9999 из Большого набора карт и приносит множество из банка.

2.

Учитель дает первому ребенку множество, соответствующее его числу, например, 1467. Оставшиеся бусины пересчитывают, результат выкладывают с помощью Малого набора карт 1—9000: 8532. Карты с уменьшаемым, вычитаемым и разностью кладут одни под другими в указанном порядке.

3.

Пусть второй ребенок выбрал число 3675. Учитель переворачивает предыдущую разность 8532 и составляет то же самое число из карт Большого набора: теперь это число — уменьшаемое.

4.

Учитель пытается отдать второму ребенку 5 единиц, но у него есть только 2 единицы. Он идет к банку и разменивает 1 десяток на 10 единиц, а затем отдает ребенку 5 единиц. Оставшиеся единицы пересчитывают и приносят карту из Малого набора 1—9000. Аналогично поступают с единицами остальных разрядов. Результат читают: 4857. Три числа — уменьшаемое, вычитаемое и разность — снова кладут друг под другом.

5.

Третий ребенок выполняет те же действия, что и два первых.

Примечание. Первый пример — на статическое вычитание, два других — на динамическое.

6.

Учитель повторяет все три примера один за другим. Затем материал убирают.

Примечание. Если на каком-либо этапе вычитаемое превосходит разность, то процесс прекращают. Ребенку полезно узнать, что на множестве целых неотрицательных чисел вычитание возможно не всегда.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

Многократное повторение действий, показанных на презентации, с другими числами.

2.

Дети выполняют предыдущее упражнение самостоятельно.

3.

Упражнения с числами, имеющими ноль в любом разряде.

Возраст: с 5 лет.

6.3. Умножение

6.3.1. Статическое умножение на однозначный множитель
(без замены разрядов)

  Материал

Банк «золотого материала»; Большой набор карт 1—9000; 3 Малых набора карт 1—3000; 3 подноса с чашечкой на каждом; большой поднос с чашечкой; маленькие карточки с зелеными числами от 1 до 9 (для обозначения множителя).

Прямая цель: знакомство с процессом умножения без замены разрядов; с функцией умножения как «повторения» сложения одинаковых количеств.

Косвенная цель: подготовка к умножению с заменой разрядов и к умножению при письме.

  Презентация

1.

На ковриках раскладывают наборы карт. Учитель дает трем детям по одному числу; при этом дети не должны видеть, что у всех у них одинаковые числа, например, 2131.

Примечание. Число единиц каждого разряда не должно превосходить 3.

2.

Дети приносят соответствующие множества из банка. Они с учителем считают и раскладывают бусины на ковре, упорядочивая их по разрядам; рядом они кладут карты с числами. Дети констатируют, что у всех одинаковые числа и множества бусин.

3.

Учитель предлагает сложить все бусины к нему на поднос и говорит: «Если мы складываем одинаковые количества, т.е. повторяем одно и то же количество несколько раз, мы называем это действие умножением».

4.

Бусины упорядочивают в соответствии с разрядами и пересчитывают, начиная с единиц. Результат выкладывают с помощью большого набора карт 1—9000:6393.

5.

Учитель: «Вы все принесли 3 равных числа, поэтому у нас есть одно и то же число, взятое трижды. Мы можем оставить только одно из них (учитель убирает два нижних числа) и положить еще одно число 3. Мы выполнили умножение». При этом учитель кладет слева направо или друг под другом числа: первый множитель, второй множитель, произведение.

6.

Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

6.3.2. Динамическое умножение на однозначный множитель (с заменой разрядов)

  Материал

Тот же, что и для статического умножения.

Прямая цель: знакомство с процессом умножения с заменой разрядов.

Косвенная: подготовка к умножению при письме,

  Презентация

1.

Начало такое же, как и при статическом умножении. Дети получают по такому числу, например, 2456, что при умножении его на 3 производится замена разрядов.

2.

Дети приносят соответствующие множества бусин, убеждаются, что они одинаковы, складывают их на поднос учителя и упорядочивают в соответствии с разрядами.

3.

Бусины пересчитывают, начиная с единиц. При этом производят замену разрядов. Результат выкладывают с помощью Большого набора карт 1 — 9000: 7368.

4.

Учитель повторяет задание, приносит карточку с числом 3 и кладет первый множитель, второй множитель и произведение слева направо или друг под другом. Затем материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

Примечание. Понимание хода действий здесь важнее, чем результат.

  Упражнения

1.

Многократное повторение работы, показанной на презентации, с другими числами.

2.

Дети проводят предыдущее упражнение самостоятельно.

3.

Упражнения с числами, имеющими нуль в одном или нескольких разрядах.

Возраст: от 5 лет.

6.4. Деление

6.4.1. Статическое деление на однозначный делитель без остатка

  Материал

Банк «золотого материала»; Большой набор карт 1—9000; три Малых набора карт 1—9000; карточки с зелеными числами 1—9 для обозначения делителя; три подноса с чашечкой на каждом; большой поднос с чашечкой.

Прямая цель: знакомство с процессом деления без замены разрядов; с функцией деления как разделения данного множества на подмножества с равным числом элементов.

Косвенная цель: подготовка к динамическому делению и делению на письме.

  Презентация

1.

Презентация проводится с тремя детьми. На ковриках раскладывают Большой набор карт и три Малых набора карт. Учитель выкладывает число с помощью Большого набора карт, например, 9636. Ребенок приносит соответствующее множество из банка.

Примечание. Каждая из цифр выбранного числа должна делиться на 3.

2.

Трое детей садятся со своими подносами на ковер. Учитель: «Я хочу разделить эти бусины поровну между тремя детьми. Каждый из вас получит одинаковое количество бусин».

Примечание. Теперь начать с тысяч! (Раньше начинали с единиц).

3.

Учитель дает каждому из детей по одной тысяче и говорит при этом: «Тебе — одну тысячу, тебе — одну тысячу и тебе — одну тысячу». Он продолжает, пока все тысячи не будут разделены.

4.

Точно так же учитель делит сотни, десятки и единицы. Затем он говорит: «У меня было много бусин. Я разделил их поровну между тремя детьми. Это действие называется делением».

5.

Дети считают свои множества и выбирают соответствующее число из своих Малых наборов карт. Они убеждаются , что все числа одинаковы: 3212.

6.

Учитель: «У меня было 9636 бусин, я разделил их поровну между тремя детьми, каждый ребенок получил по 3212 бусины. Это — деление». Учитель кладет слева делимое 9636, справа — одно под другим три числа 3212. Он говорит: «Было трое детей, поэтому мы положим число 3, тогда два нижних числа можно убрать». Теперь делимое, делитель и частное лежат слева направо друг за другом.

7.

Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

Многократное повторение работы, показанной на презентации, с другими числами.

6.4.2. Динамическое деление на однозначный делитель без остатка

  Материал

Тот же, что и для статического деления.

Прямая цель: знакомство с процессом деления на однозначный делитель с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к делению на двузначный делитель и к делению при письме.

  Презентация

1.

Начало то же, что и при статическом делении, однако на этот раз учитель выбирает число, при делении которого на 3 требуется замена разрядов, например, 9426.

2.

Учитель делит тысячи поровну между тремя детьми, затем дает детям по одной сотне и обращает их внимание на то, что осталась всего ода сотня. Учитель разменивает в банке сотню на десятки и делит поровну десятки, затем единицы.

3.

Дети считают свои бусины и составляют числа из своих малых наборов карт: 3142.

4.

Учитель повторяет задание, раскладывая при этом числа — делимое, делитель, частное — в том же порядке, что и при статическом делении. Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

Многократное повторение действий, показанных на презентации, с другими числами.

6.4.3. Динамическое деление на однозначный делитель с остатком

Примечание. Процесс динамического деления ребенку уже знаком. Новым для него является то, что одно число не всегда можно разделить нацело на другое.

  Материал

Используется тот же, что и при статическом и динамическом делении без остатка.

  Презентация

1.

Ход действий тот же, что и при динамическом делении. Остаток кладут справа от частного.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

Самостоятельная работа детей. При самостоятельной работе вместо детей можно использовать зеленые деревянные фишки.

2.

Деление чисел, имеющих нули в каком-либо разряде.

3.

Начать деление не со старшего, а с любого другого разряда, и понять, почему деление принято начинать именно с единиц старшего разряда.

Примечание. Серия презентаций и упражнений на деление служит для того, чтобы узнать три важных правила деления: 1) множество делится поровну; 2) деление начинается с тысяч — с наивысшего разряда; 3) то, что получает один ребенок, есть результат деления.

Возраст: с 5 до 6 лет.

6.4.4. Деление на многозначный делитель («Деление с бантами»)

  Материал

Банк с «золотым материалом»; Большой набор карт 1—9000, Малый набор карт 1—9000; по 9 зеленых, а также синих и красных бантов, которые можно прикалывать к одежде; карточки с числами для обозначения делителя; подносы с чашечками.

Прямая цель: знакомство с процессом деления на многозначный делитель.

Косвенная цель: подготовка к делению при письме.

  Презентация

Примечание. Сначала демонстрируют деление на двузначный делитель. Можно сразу показать деление с остатком, так как ребенок уже знает, что не всякое число можно разделить нацело на другое число.

1.

Наборы карт раскладывают на ковриках. Учитель выбирает из Большого набора карт большое число — делимое, например, 3784, и приносит из банка соответствующее множество.

2.

Число нужно разделить на 14. Учитель зовет к себе 14 детей и предлагает 10 детям выбрать одного ребенка, который получит бусины для всех 10 детей. Этот ребенок получает синий бант: это означает десяток. Еще 4 ребенка получают по зеленому банту: это означает — единицы. «Ребенок-десяток» должен при делении каждый раз получать в 10 раз больше, чем «ребенок-единица».

Примечание. Если делитель трехзначный, то один ребенок (или более) получает красный бант, при делении он играет роль сотни и каждый раз получает в 10 раз больше, чем «ребенок-десяток», и в 100 раз больше, чем «ребенок-единица».

3.

При делении снова начинают с единиц высшего разряда, т.е. с тысяч. «Ребенок-десяток» получает одну тысячу, четверо «детей-единиц» — по одной сотне. Если отдать «ребенку-десятку» еще одну тысячу, то «детям-единицам» сотен не хватит, поэтому 1 тысячу из 2 оставшихся разменивают на сотни, дают «ребенку-десятку» одну тысячу, а «детям-единицам» — по одной сотне, и т.д. Остаток — 4 единицы. «Дети-единицы» пересчитывают свои бусины и говорят, сколько бусин они получили. Один из них приносит карты из Малого набора карт: 270.

4.

Проверка: бусины «ребенка-десятка» делятся между десятью «детьми-единицами»; у каждого получится то же самое множество бусин, как у каждого из четырех первых «детей-единиц».

5.

В конце учитель повторяет задание и раскладывает числа и множества бусин на ковре: делимое 3784 слева сверху, правее — делитель 14 и частное 270. Справа от частного — остаток. Под делителем кладут банты: один синий и 4 зеленых. Под частным — соответствующее количество бусин. Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

Повторение действий с другими числами.

2.

Деление на трехзначный делитель.

3.

Деление на число, имеющее нуль в одном разряде.

Возраст: с 5 до 6 лет.

«Операции состоят в том, чтобы сложить вместе равные или неравные количества, или от целого отнять некоторую его часть, или разделить его на равные части. Это операции. То, что происходит внутри чисел, относится к десятичной системе, а не к операциям. А что же происходит тогда в десятичной системе? Это очень просто: собрание более десяти граждан запрещено. Если приходит десятый, возникает новая личность. Это переход от девяти к десяти» [5, с. 53—54].

«Радость малышей, если они воспринимают десятичные превращения кубов, квадратов, стерженьков и бусин, и их воодушевление приносить один предмет за другим и распределять все количество делают деление одним из их любимых упражнений. С другой стороны, помимо распределения количеств эти упражнения требуют разделения работы. Также требуется поддержка того ребенка, который не прямо участвует в делении, а занят только преобразованиями. У этого ребенка много квадратов, стерженьков и бусин, лежащих перед ним и не имеющих отношения к представляющему делимое множеству, служащих лишь для того, чтобы заменить его отдельные части, если того требуют обстоятельства. Этому ребенку выпадает, следовательно, роль кассира. Кроме того, существует директор, который проверяет распределение делимого, чтобы части были разделены поровну, преобразования выполнены правильно и остаток оказался нетронутым. Эта социальная организация придает ходу деления живой характер» [5, с. 62—63]. «Конечно, по желанию большинства, я делаю следующее предложение: двенадцать детей должны принести их соответствующую часть. Двенадцать детей атакуют мой стол. Я замечаю, что это слишком много и может возникнуть путаница. “Группа из десяти должна отделиться и выбрать представителя, который получит часть, соответствующую всей группе”. И для того чтобы отличить его от двух других, которые представляют лишь самих себя, я раздаю знаки различия: синий бант представителю десяти детей, т. е. десятка, и два зеленых банта скромным единицам» [5, с. 63].

7.Игры с марками

Примечание. Игры с марками представляют собой целый ряд презентаций и упражнений, в ходе которых ребенок выполняет 4 арифметических действия с многозначными числами, представленными с помощью маленьких табличек зеленого, синего и красного цветов — марок. Ребенок не только решает примеры, но и впервые записывает их. Однако это еще не сложение, вычитание, умножение и деление при письме с полной записью всего хода действий, так как сами арифметические действия выполняются с помощью марок. Ребенок записывает только пример и ответ. Арифметические действия с марками аналогичны действиям с «золотым материалом». Однако если при работе с «золотым материалом»

было важно прежде всего понимание хода действий, то в Играх с марками особое значение приобретает правильный результат.

Материал для всех игр с марками: деревянная коробка с шестью отделениями, в четырех из которых лежат разноцветные квадратные таблички с написанными на них числами — марки: марки-единицы зеленого цвета, на них написано число 1; марки-десятки синего цвета, на них написано число 10; марки-сотни красного цвета, на них написано число 100; марки-тысячи зеленого цвета, на них написано число 1000. В набор входят также зеленые, синие и красные фишки и кружочки-чипсы.

7.1. Введение

  Материал

Поднос с «золотыми» кубом-тысячей, квадратом-сотней, стержнем-десятком, бусиной-единицей. Четыре марки: «единица», «десяток», «сотня» и «тысяча».

Прямая цель: сопоставить марки с «золотым материалом» и узнать названия каждой марки.

Косвенная цель: подготовка к выполнению арифметических действий с марками.

  Презентация

1.

Презентация в виде трехступенчатого урока. На столе стоит поднос с золотым материалом. Учитель предлагает ребенку назвать все имеющиеся на нем количества.

2.

Первая ступень. Учитель показывает ребенку марку-единицу, марку-десяток, марку-сотню и марку-тысячу и обращает его внимание на написанные на них числа.

3.

Вторая ступень. Учитель предлагает ребенку положить марку-единицу под бусиной-единицей, марку-десяток под стержнем-десятком и т.д. Он дает также обычные задания типа: «Дай мне...», «Покажи мне...». Далее идет третья ступень урока.

4.

Материал убирают.

7.2. Сопоставление марок и чисел

  Материал

Коробка с марками; Малый набор карт 1—9000.

Прямая цель: узнать связь между марками и числами.

Косвенная цель: подготовка к выполнению арифметических действий с марками и к записи чисел.

  Презентация

1.

На столе раскладывают Малый набор карт 1—9000. Учитель предлагает ребенку построить какое-либо число, например, 4631.

2.

Учитель кладет под каждой цифрой числа марки в столбик одну под другой: под цифрой 4 — 4 марки-тысячи, под цифрой 6 — 6 марок-сотен, под цифрой 3 — 3 марки-десятка, под цифрой 1 — 1 марку-единицу.

Примечание. Учитель начинает выкладывать марки в порядке записи числа, т.е. начиная с тысяч.

3.

Материал убирают.

  Упражнения

Ребенок строит числа из карт и кладет под ними марки.

7.3. Запись чисел

  Материал

Коробка с марками; 3 цветных карандаша — красный, синий и зеленый; бумага в крупную клетку; Малый набор карт 1—9000.

Прямая цель: ребенок учится записывать числа.

Косвенная цель: подготовка к записи примеров.

  Презентация

1.

На столе раскладывают набор карт. Ребенок получает от учителя 4 карты с единицами разных разрядов, строит многозначное число и кладет под ним марки.

2.

Учитель: «Это число мы можем также записать!» Он записывает число на клетчатой бумаге слева направо, применяя карандаш соответствующего цвета для каждой цифры: зеленый — для тысяч и единиц, красный — для сотен, синий — для десятков (рис. 6).

3.

Карты и марки убирают.

Рис. 6. Переход к записи чисел в Играх с марками

  Упражнения

1.

Повторение действий с другими числами.

2.

Ребенок кладет марки и записывает число (без карт).

3.

Обратное упражнение: записать число и представить его с помощью марок (без карт).

4.

Те же упражнения с числами, имеющими нуль в одном из разрядов, например, 2042. Вместо отсутствующего разряда кладут чипс соответствующего цвета.

5.

То же, однако числа записывают простым карандашом.

7.4. Игра с марками на сложение

7.4.1 Статическое сложение

  Материал

Коробка с марками, простой карандаш, линейка, бумага в крупную клетку.

Прямая цель: сложение с марками без замены разрядов.

Косвенная цель: подготовка к динамическому сложению и умножению с марками. Подготовка к сложению при письме.

  Презентация

1.

Учитель записывает на бумаге одно под другим 2 числа, при сложении которых не требуется замены разрядов, например, 3421 и 1312.

2.

Оба числа выкладывают одно под другим с помощью марок.

3.

Учитель: «Мы хотим сложить эти два числа. Мы запишем знак "+", что означает “плюс” или “сложить” и проведем черту под нижним числом».

	1000	100	10	1			+	3	4	2	1
	1000	100	10					1	3	1	2
	1000	100						4	7	3	3
		100
	1000	100	10	1
		100		1
		100

Рис. 7. Игры с марками: сложение

4.

Марки, соответствующие нижнему числу, сдвигают наверх. Затем их пересчитывают, начиная с единиц, и записывают результат: 4733. Цифру записывают каждый раз сразу после подсчета марок (рис. 7).

5.

Материал убирают.

  Упражнения

Ребенок решает предложенные учителем примеры на сложение без замены разрядов.

7.4.2. Динамическое сложение

  Материал

Тот же, плюс пустая коробочка.

Прямая цель: сложение с марками с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к сложению при письме.

  Презентация

1.

Учитель записывает одно под другим два числа, при сложении которых необходима замена разрядов, например, 4284 и 2845.

2.

Оба числа выкладывают одно под другим с помощью марок, записывают знак «+», проводят черту под нижним числом и выполняют действия с марками. При замене разрядов каждые 10 марок, которые требуется заменить, кладут в коробочку, вместо них берут марку более высокого разряда, а марки из коробочки возвращают обратно в большую коробку.

3.

Результат записывают. Материал убирают.

  Упражнения

Ребенок упражняется в сложении любых чисел.

7.5. Игра с марками на вычитание

  Материал

Тот же, что и при сложении.

Прямая цель: вычитание с марками сначала без замены, а потом с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к вычитанию на письме.

7.5.1. Статическое вычитание

  Презентация

1.

Учитель пишет число, например, 4542. Это число представляют с помощью марок.

2.

Учитель: «Мы хотим вычесть из этого числа другое число. Ты помнишь, что “вычесть” значит “отнять”, “убрать”». Он записывает второе число, например, 3221, под первым, слева между числами пишет знак «–» и подчеркивает второе число чертой. Учитель: «Знак “–” означает “минус” или “вычесть”».

3.

Учитель сдвигает вниз марки, соответствующие вычитаемому числу. При этом он начинает с единиц. Оставшиеся марки пересчитывают, результат записывают под чертой: 1321 (рис. 8).

4.

Материал убирают.

  Упражнения

Ребенок решает примеры на статическое вычитание, предложенные учителем.

	1000	100	10	1			–	4	5	4	2
		100	10					3	2	2	1
		100						1	3	2	1
	1000	100	10	1
	1000	100	10
	1000

Рис. 8. Игры с марками: вычитание

7.5.2. Динамическое вычитание

  Презентация

Презентация проводится так же, как и при статическом вычитании. Числа, однако, подбирают так, что для решения примера необходимо сделать замену разрядов: 9876–1988=7888. Так, при вычитании единиц выясняется, что в уменьшаемом единиц слишком мало, поэтому марку-десяток разменивают на 10 марок-единиц и выполняют вычитание. Оставшиеся марки-единицы пересчитывают, результат записывают. Аналогично поступают с единицами других разрядов.

7.6. Игра с марками на умножение

  Материал

Тот же, что при сложении, и зеленые фишки.

Прямая цель: умножение с марками без замены, затем с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к умножению на письме.

7.6.1. Статическое умножение (на однозначное число)

  Презентация

1.

Учитель записывает число, например, 1331, и предлагает ребенку выложить его с помощью марок. Число выбирают такое, чтобы при умножении его на 3 не потребовалось замены разрядов.

2.

Учитель: «Мы хотим умножить это число на 3, т.е. взять его 3 раза». Он пишет слева под числом знак «×», еще ниже под разрядом единиц — число 3, и проводит внизу линию. Учитель объясняет, что означает знак «×».

Рис. 9. Игры с марками: умножение

3.

Слева от марок, представляющих число 1331, учитель ставит зеленую фишку, под ней — еще 2 зеленые фишки. Он предлагает ребенку рядом с этими двумя фишками выложить дважды с помощью марок число 1331. Теперь марки, соответствующие числу 1331, повторенному трижды, лежат друг под другом.

4.

Фишки и марки сдвигают вверх. Марки пересчитывают, начиная с единиц. Результат записывают: 3993 (рис. 9).

5.

Материал убирают.

7.6.2. Динамическое умножение (на однозначное число)

  Презентация

Проводится так же, как и при статическом умножении, но числа выбираются так, что при решении примера необходима замена разрядов, например: 165×5=825.

  Упражнения

Ребенок решает примеры на умножение сначала без замены, а потом и с заменой разрядов.

7.7. Игра с марками на деление

  Материал

Тот же, что и при сложении, а также зеленые, синие и красные фишки и чипсы.

Прямая цель: деление с марками сначала на однозначное, затем на многозначное число сначала без замены, а потом с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к делению при письме.

7.7.1. Статическое деление (на однозначный делитель без остатка)

  Презентация

1.

Учитель пишет число, например, 9663. Это число представляют с помощью марок.

2.

Учитель: «Мы хотим разделить это число на 3. Мы записываем это так: 9663:3=».

3.

Справа от марок, представляющих число 9663, учитель ставит 3 зеленые фишки на расстоянии друг от друга. Начиная с тысяч, он делит марки поровну между тремя фишками. Процесс аналогичен статическому делению с «золотым материалом».

4.

Ребенок считает, сколько марок получила одна фишка, и записывает ответ: 3221. Окончательная запись: 9663:3=3221.

5.

Материал убирают.

7.7.2. Динамическое деление (на однозначный делитель без остатка)

  Презентация

Проводится так же, как и при статическом делении. Числа, однако, подбираются так, чтобы в процессе деления происходила замена разрядов.

Пример: 5673:3=1891.

7.7.3. Динамическое деление с остатком (на однозначный делитель)

  Презентация

Проводится так же, как и при динамическом делении без остатка. Марки, являющиеся остатком, кладут справа от результата.

Рис. 10. Игры с марками: деление

Для записи примера используют общепринятую форму (рис. 10).

7.7.4. Статическое деление на двузначный делитель (без остатка)

  Презентация

1.

Учитель пишет число, например, 3888. Это число представляют с помощью марок. Учитель: «Мы хотим разделить это число на 12. Мы записываем это так: 3888:12= ».

2.

Учитель ставит справа от марок, представляющих делимое, одну синюю и 2 зеленых фишки. Он поясняет, что синяя фишка будет каждый раз получать столько, сколько 10 зеленых фишек.

Примечание. Если у ребенка возникают затруднения, можно сначала взять 12 зеленых фишек, а затем заменить 10 из них одной синей фишкой. Эта процедура, так же как и последующий процесс деления, аналогична «Делению с бантами» (см. выше).

3.Учитель делит марки. Синяя фишка получает 1 тысячу, две зеленых — по 1 сотне, и т.д. По окончании ребенок считает марки, полученные одной зеленой фишкой, и пишет результат: 324.

4.

Учитель предлагает ребенку убедиться, что каждая из 10 зеленых фишек, которые представляет синяя фишка, получила также по 324 марки. Ребенок ставит вместо одной синей 10 зеленых фишек и производит деление. Материал убирают.

7.7.5. Динамическое деление на двузначный делитель
(без остатка и с остатком)

  Презентация

Проводится так же, как и при статическом делении на двузначный делитель. Ребенку уже знакомо деление с остатком, поэтому ему можно сразу показать динамическое деление на двузначный делитель с остатком.

7.7.6. Деление на трехзначный делитель с нулем в разряде десятков

  Презентация

1.

Учитель диктует задание, например: 4564:302= . Ребенок записывает пример и представляет делимое с помощью марок.

2.

В качестве делителя ставят 3 красных и 2 зеленых фишки, а между ними вместо отсутствующих десятков кладут синий чипс.

3.

Каждая красная фишка получает по 1 тысяче, синий чипс не получает ничего. Если бы на его месте стояла синяя фишка, она получила бы сотню, поэтому под синим чипсом кладут красный чипс. Каждая из зеленых фишек получает по 1 десятку, и т.д.

4.

Ребенок считает марки, полученные одной зеленой фишкой, и записывает результат: 15 и остаток: 34.

5.

Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем. Следует также подготовить контрольные карты с примерами и ответами.

  Упражнения

Повторение всех действий с другими числами.

Возраст: около 6 лет.

«Следующий материал применяется после вычитания с большими числами. (Весьма любопытно, что первоначально материал для Игр с марками задумывался, главным образом, в качестве средства прояснения смысла операции вычитания и сопоставления ее с операцией деления. — Авт.)

Материал состоит из деревянных табличек, на которых обозначены различными цветами следующие друг за другом серии: серия тысяч, серии сотен, десятков и единиц. Каждый из этих разрядов имеет другой цвет.... Числа представляют единицы четырех различных разрядов, и посредством объединения рядов этих единиц могут быть представлены числа, состоящие из многих цифр» [5, с. 67].

«После этого (выполнения нескольких последовательных операций вычитания с помощью марок — Авт.) возникает точное соответствие между операцией отнятия или вычитания (подразделения целого на неравные между собой части) и деления, которое представляет собой подразделение целого на равные между собой части.

Различие состоит в том, что при вычитании действуют не одновременно, а последовательно. При втором все время остается только одно-единственное вычитание. Так возникает, следовательно, различие в факте, не в ходе вычислений или в операции, а в образе действия» [5, с. 70].

8. Игра с точками

  Материал

Клетчатый лист (или доска), разделенный на 6 вертикальных полос шириной по 10 клеток. На первой (левой) полосе сверху написано синее число 10000, на второй полосе — зеленое число 1000, на третьей — красное число 100, на четвертой — синее число 10, на пятой — зеленое число 1. Полосы 1—5 — клетчатые, по 10 клеток в ряду, шестая полоса пустая, нелинованная (рис. 11). Простой карандаш, красный карандаш, линейка.

Рис. 11. Общий вид бланка для «Игры с точками»

Прямая цель: сложение с заменой разрядов.

Косвенная цель: подготовка к сложению при письме.

  Презентация

1.

Учитель диктует одно за другим несколько чисел, ребенок записывает их друг под другом на пустой полосе. Все числа нужно сложить, поэтому ребенок ставит слева знак «+» и подчеркивает нижнее число прямой линией.

2.

Учитель ставит в верхнем горизонтальном ряду 5-й полосы столько точек, сколько единиц в первом числе. В верхнем горизонтальном ряду 4-й полосы учитель ставит столько точек, сколько десятков в верхнем числе. В 3-й полосе тем же образом отмечается количество сотен в первом числе, и т.д.

3.

Аналогично учитель представляет с помощью точек второе число. Сначала он отмечает точки, соответствующие единицам второго числа, в верхнем горизонтальном ряду, пока он не заполнится, затем продолжает ставить во втором ряду те точки, которые не поместились в первом. То же самое — с остальными разрядами второго числа.

4.

То же самое — со всеми остальными числами. Ребенок может продолжить работу самостоятельно.

5.

Если все числа представлены с помощью точек, начинается процесс сложения. Сначала складывают все точки в 5-й полосе, т.е. все единицы. Если ряд полностью заполнен, все 10 точек в нем соединяют линией, ставят точку в 4-й полосе внизу слева и пишут число 1 в 4-й полосе внизу справа. Это означает: 10 единиц мы заменили на 1 десяток и должны прибавить его к имеющимся у нас десяткам. Если бы у нас было 2 заполненных ряда единиц, мы отметили бы в 4-й полосе 2 точки и написали число 2. В конце считают точки в нижнем, не заполненном до конца ряду и пишут их число внизу.

Примечание. Эти действия аналогичны замене разрядов при работе с «золотым материалом».

6.Далее складывают десятки. Сначала «перенесенные» из 5-й полосы точки-десятки добавляют к уже имеющимся там точкам и производят такие же действия, как и с точками 5-й полосы.

7.

Аналогично с сотнями и тысячами. В заключение ребенок читает результат внизу и записывает его под чертой в 6-й полосе.

8.

Материал убирают.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем.

  Упражнения

1.

Повторение действий с другими числами.

2.

В ходе работы отметить сначала все точки, соответствующие единицам всех чисел, затем — всем десяткам, и т.д. Далее действовать, как в ходе презентации.

3.

Все единицы, соответствующие всем числам, представить с помощью точек, сразу же сосчитать, оставшиеся в незаполненном ряду точки сосчитать и записать число в разряд единиц результата. То же самое — с остальными разрядами. Этот ход действий полностью соответствует сложению на письме.

Возраст: около 6 лет.

«Параллельно этим выполняемым с помощью материала из бусин упражнениям с большими числами (это первичные и основополагающие упражнения, так как они могут быть проведены с эффективными количествами) представлены и другие, предназначенные для того, чтобы продемонстрировать те же самые факты, но при этом работа производится с написанными числами... В обозначенных числами 10000, 1000, 100, 10 и 1 столбцах рисуют такое количество точек, какое обозначает соответствующая цифра каждого числа. Так в каждой колонке собираются точки, соответствующие разрядам каждого из слагаемых... Представленный формуляр допускает каталогизацию чисел вплоть до десятков тысяч» [5, с. 65].

9. Текстовые задачи

  Материал

Маленькие тетрадочки, в каждой — по одной задаче. Тетрадочка с задачей на сложение — красного цвета, на вычитание — зеленого цвета, на умножение — желтого цвета, на деление — синего цвета. Цвет подсказывает, какое действие нужно выполнить. Имеются также тетрадочки белого цвета, которые применяются позднее. При работе с такими тетрадочками ребенок сам должен решить, какое арифметическое действие выполнить.

Прямая цель: ребенок учится решать задачи в одно действие.

Косвенная цель: подготовка к решению задач в два и более действия.

  Презентация

Ребенок берет тетрадочку, читает задачу и решает ее с помощью «золотого материала» или марок.

Контроль ошибок

Осуществляется учителем. Следует также подготовить контрольные карты с задачами и их решениями.

  Упражнения

1.Повторение этого с другими тетрадочками.

2.Работа с белыми тетрадочками.

3.Задачи в 2 действия.

Примеры задач:

1)Фермер собрал 1560 кг груш и 2148 кг яблок. Сколько всего килограммов фруктов собрал фермер?

2)В году 365 дней. Прошло 178 дней. Сколько дней осталось до конца года?

3)В одном подъезде 108 квартир. Сколько квартир во всем доме, если в нем 4 подъезда?

4)В школу привезли 96 «Букварей» для первоклассников и раздали их поровну во все первые классы. Сколько «Букварей» получил каждый класс, если в школе 4 первых класса?

Возраст: с 6 лет.

«...Тут находится человек по отношению к материи. Рассматриваемая в этом свете, появляется социальная жизнь со всеми ее событиями. Коммерсант, который получил в течение дня много различных сумм, наконец выполняет сложение. Напротив, продавец билетов по одинаковой цене в театре, получивший от этого много одинаковых количеств, производит умножение. Наоборот, мать, которая является обладательницей всего своего месячного дохода и откладывает часть на уплату за квартиру, совершает вычитание. Напротив, она делит количество, предназначенное для платы за школу для троих детей, на три равные части. Так социальная жизнь людей строится на материальных потребностях, которые встречаются на каждом шагу и постоянно приносят с собой «проблемы», ясное и точное решение которых возможно только посредством чисел» [5, с. 71].